تحقیق رایگان سایت پژوهشی و علمی آسمان

تحقیق درباره عدد نپر:

 

عدد اي (e) يکي از ثابت‌هاي رياضي و پايه لگاريتم طبيعي است. عدد e تا ۲۹ رقم پس از مميز چنين است:

E = 2,71828 713502874235365904518284

 

پايه لگاريتم طبيعي (~ 2.71828)، اولين بار توسط لئونارد اويلر (Leonhard Euler1707-83) يکي از باهوشترين رياضيدانان تاريخ رياضيات مورد استفاده قرار گرفت. در يکي از دست خطهاي اويلر که ظاهرا" بين سالهاي 1727 و 1728 تهيه شده است با تيتر

Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اويلر از عدي بنام e صحبت مي کند. هر چند او رسما" اين نماد را در سال 1736 در رساله اي بنام Euler's Mechanica معرفي ميکند.

در واقع بايد اعتراف کرد که اويلر کاشف يا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردي بنام جان نپر (John Napier 1550-1617) در اسکاتلند هنگامي که روي لگاريتم بررسي مي کرده است بحث مربوط به پايه طبيعي لگاريتم را به ميان کشيده است. فراموش نکنيد که شواهد نشان ميدهد حتي در قرن هشتم ميلادي هندي ها با محاسبات مربوط به لگاريتم آشنايي داشته اند.

در اينکه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اويلر نمايش داده شده است صحبت هاي بسياري است. برخي e را اختصار exponential مي دانند، برخي آنرا ابتداي اسم اويلر (Euler) مي دانند و برخي نيز ميگويند چون حروف a,b,c و d در رياضيات تا آن زمان به کرات استفاده شده بود، اولر از e براي نمايش اين عدد استفاده کرد. هر دليلي داشت به هر حال امروزه اغلب اين عدد را با نام Euler مي شناسند.

کاربرد عدد نپر :

اويلر هنگامي که روي برخي مسائل مالي در زمينه بهره مرکب در حال کار بود به عدد e علاقه پيدا کرد. در واقع او دريافت که در مباحث بهره مرکب، حد بهره به سمت عددي متناسب (يا مساوي در شرايط خاص) با عدد e ميل ميکند. بعنوان مثال اگر شما 1 ميليون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مرکب و مداوم سرمايه گذاري کنيد در پايان سال به رقمي حدود 2.71828 ميلون تومان خواهيد رسيد.

در واقع در رابطه بهره مرکب داريم :  

که در آن P مقدار نهايي سرمايه و بهره است، C مقدار اوليه سرمايه گذاري شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتي است که در سال به سرمايه بهره تعلق مي گيرد و t تعداد سالهايي است که سرمايه گذاري مي شود.

در اين رابطه اگر n به سمت بي نهايت ميل کند - حالت بهره مرکب - فرمول را مي توان بصورت زير ساده کرد :

اويلر همچنين براي محاسبه عدد e سري زير را پيشنهاد داد :

لازم است ذکر شود که اويلر علاقه زيادي به استفاده از نمادهاي رياضي داشت و رياضيات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردي مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسياري ديگر نمادها مديون بدعت هاي اويلر است.

 

مي خواهيم ثابت کنيم که e=(1+1/n)ⁿ گنگ است:

طبق بسط دو جمله اي نيوتن:                              

e=(1+1/n)ⁿ=1+1/1!+1/2!+1/3!+…+1/n!+1/(n+1)!+…

 

n!e=[(n!)+(n!/1!)+(n!/2!)+(n!/3!)+…+(n!/n!)]+(n!/(n+1)!)+…

 

که عبارت داخل کروشه يک عدد صحيح است که آن را q_n مي ناميم.حال فرض مي کنيم که e گويا و برابر باa/b باشد داريم:

n!a=bq_n+b[(n!/(n+1)!)+(n!/(n+2)!)+…]

عدد صحيح و مثبت r_n را بدين صورت داريم:

 

R_n=n!a-bq_n=b[(1/(n+1))+(1/(n+1)(n+2))+(1/(n+1)(n+2)(n+3))+…]

 

R_n=b/(n+1)+b[(1/(n+1)(n+2))+(1/(n+1)(n+2)(n+3))+…]

 

و اگر در عبارت کروشه از مخرج فقط دو عامل را نگاه داريم:

R_n

R_n

=>r_n r_n<2b/(n+1)

 

پس به ازاي n>2b-1، r_n کوچکتر از 1 مي شود و اين با فرض متناقض است پس حکم گنگ بودن e ثابت است.